Moving genomsnittet strikt stationär

Precis som titeln antyder är detta mitt problem. Låt Zt vara en strikt stationär sekvens. Definiera Xt Zt theta Z Visa att denna sekvens också är strikt stationär. Här är mitt problem Min definition av strikt stillastående är att vi har fördelningen av Zt, Z, prickar, Z är oberoende av t för alla t i mathbb och alla h i mathbb. Men hur jag ser den har vi Xt, X, prickar, X Zt theta Z, prickar, Z theta Z som skulle vara oberoende av t - 1 av hur Zt antas vara Hur skifter vi detta till oberoende av t. asked 12 feb 13 kl 17 34. Jag tror inte att det är ett verkligt problem oberoende från t-1 är detsamma som oberoende från t och du ser det Tydligt genom att skriva det tydligare för h 1 du får helt enkelt Zt theta Z sim Z theta Zt quad förallt i mathbb Z vilket är samma förallt t-1 i mathbb Z Bli inte förvirrad av beroende av variablerna, stationäritet handlar om deras Distribution i själva verket en konstant serie har beroende variabler vars distribution är oberoende av t. Or har jag missförstått din que Stion. En kort introduktion till modern tidsserie. Definition En tidsserie är en slumpmässig funktion xt av ett argument t i en uppsättning T Med andra ord är en tidsserie en familj av slumpmässiga variabler x t-1 xtxt 1 som motsvarar alla element I den uppsatta T där T är tänkt att vara en uppsägbar, oändlig uppsättning. Definition En observerad tidsserie tte T o T anses vara en del av en realisering av en slumpmässig funktion xt En oändlig uppsättning möjliga realisationer som kan ha observerats Kallas ett ensemble. För att ställa saker mer noggrant är tidsserie eller slumpmässig funktion en riktig funktion xw, t av de två variablerna w och t, ​​där wW och tT Om vi ​​fixar värdet på w har vi en riktig funktion xtw Av tiden t, vilken är en realisering av tidsserierna Om vi ​​fixar värdet på t har vi en slumpmässig variabel xwt För en given tidpunkt finns en sannolikhetsfördelning över x Således kan en slumpmässig funktion xw, t vara Betraktas som antingen en familj av slumpmässiga variabler eller som en familj av re Alisering. Definition Vi definierar fördelningsfunktionen för den slumpmässiga variabeln w givet t 0 som P oxx På samma sätt kan vi definiera gemensamfördelningen för n slumpvariabler. Punkterna som skiljer tidsserieanalys från vanliga statistiska analyser är följande 1 Beroendet av observationer På olika kronologiska punkter i tid spelar en viktig roll Med andra ord är observationsordningen viktig. I vanlig statistisk analys antas att observationerna är ömsesidigt oberoende 2 Domänen av t är oändlig 3 Vi måste göra en inferens från en realisering Förståelsen av den slumpmässiga variabeln kan endast observeras en gång vid varje tidpunkt I multivariatanalys har vi många observationer om ett ändligt antal variabler Denna kritiska skillnad kräver att stationaritet antas. Definitionen Slumpmässiga funktionen xt sägs vara strikt stationär om Alla ändliga dimensionsfördelningsfunktioner som definierar xt förblir desamma Även om hela gruppen av punkter t 1 t 2 tn förskjuts längs tidsaxeln Det är, om. För alla heltal t 1 t 2 tn och k Grafiskt kan man föreställa sig realiseringen av en strikt stationär serie som inte bara Samma nivå i två olika intervaller men också samma fördelningsfunktion helt ner till de parametrar som definierar det. Antagandet av stationaritet gör våra liv enklare och billigare. Utan stationäritet skulle vi behöva prova processen ofta vid varje tidpunkt för att Bygga upp en karaktärisering av distributionsfunktionerna i den tidigare definitionen Stationäritet betyder att vi kan begränsa vår uppmärksamhet åt några av de enklaste numeriska funktionerna, dvs distributionsmomentet. De centrala stunderna ges av Definition i Medelvärdet av tidsserierna T är det första ordnings-momentet ii Autokovariansfunktionen av t är det andra ögonblicket om medelvärdet Om ts då har du variansen av xt Vi kommer att använda för att beteckna autot Ocovarians av en stationär serie där k betecknar skillnaden mellan t och s iii Autokorrelationsfunktionen ACF av t är. Vi kommer att använda för att beteckna autokorrelationen för en stationär serie, där k anger skillnaden mellan t och s iv Den partiella autokorrelationen PACF F kk är korrelationen mellan zt och ztk efter att ha avlägsnat sitt ömsesidiga linjära beroende av de intervenerande variablerna zt 1 zt 2 zt k-1 Ett enkelt sätt att beräkna den partiella autokorrelationen mellan zt och ztk är att köra de två regressionerna. Det beräknar korrelationen Mellan de två restvektorerna Eller, efter mätning av variablerna som avvikelser från deras medel, kan den partiella autokorrelationen hittas som LS-regressionskoefficienten på zt i modellen. Där punkten över variabeln indikerar att den mäts som en avvikelse från dess Medelvärdet v Yule-Walker-ekvationerna ger ett viktigt samband mellan de partiella autokorrelationerna och autokorrelationerna Multiplicera båda sidor av ekvation 10 med z T kj och ta förväntningar Denna operation ger oss följande skillnadsekvation i autocovariances. or, när det gäller autokorrelationer. Denna till synes enkla representationen är verkligen ett kraftfullt resultat Namnlöst, för j 1,2 k kan vi skriva hela systemet av ekvationer , Känd som Yule-Walker-ekvationerna. Från linjär algebra vet du att matrisen av rs är av full rang. Därför är det möjligt att tillämpa Cramer s regel successivt för k 1,2 för att lösa systemet för de partiella autokorrelationerna De tre första är Vi har tre viktiga resultat på strikt stationära serier. Implikationen är att vi kan använda någon ändlig realisering av sekvensen för att uppskatta medelvärdet Andra om t är strikt stillastående och E t 2 då. Implikationen är att autokovariansen endast beror på skillnaden Mellan t och s, inte deras kronologiska punkt i tid Vi kunde använda några parintervaller i beräkningen av autokovariansen så länge som tiden mellan dem var konstant och vi kan använda någon Ändamålsenlig realisering av data för att uppskatta autocovariances För det tredje ges autokorrelationsfunktionen vid strikt stationäritet. Implikationen är att autokorrelationen bara beror på skillnaden mellan t och s också, och igen kan de uppskattas av någon Ändamålsenlig realisering av data. Om vårt mål är att uppskatta parametrar som är beskrivande av möjliga realisationer av tidsserierna, är kanske strikt stationärhet för restriktiv. Till exempel, om medelvärdena och covariancesna av xt är konstanta och oberoende av den kronologiska punkten I tiden är det kanske inte viktigt för oss att distributionsfunktionen är densamma för olika tidsintervaller. Definition En slumpmässig funktion är stationär i bred mening eller svagt stationär eller stationär i Khinchins betydelse eller kovarians stationär om m 1 Tm och m 11 t, s. Stritt stationäritet betyder inte i sig svag stationärhet. Svag stationäritet betyder inte strikt stationäritet. Stark station Arity med E t 2 innebär svag stationaritet. Goda teoremer handlar om frågan om de nödvändiga och tillräckliga förutsättningarna för att göra inferens från en enda realisering av en tidsserie. I grunden koka det sig ned för att antaga svag stationaritet. Ordet Om t är svagt stationärt med medelvärde M och kovariansfunktion då. Det är för någon given e 0 och h 0 det finns ett antal T o så att för alla TT o om och endast om. Detta nödvändiga och tillräckliga villkor är att autocovariances dör ut, i vilket fall Provvärdet är en konsekvent estimator för populationsmedlet. Korollär Om t är svagt stillastående med E tkxt 2 för någon t, och E tkxtxtskxts är oberoende av t för något heltal s, then. if och endast om where. A. Överensstämmelse är antagandet att xtxtk är svagt stationärt. Den ergodiska stämningen är inte mer än en lag av stora siffror när observationerna är korrelerade. Man kan fråga på den här tiden om de praktiska konsekvenserna av statio Berättelse Den vanligaste tillämpningen av användning av tidsserie-tekniker är att modellera makroekonomiska data, både teoretiskt och atoretiskt. Som ett exempel på det tidigare kan man ha en multiplikator-acceleratormodell. För modellen att vara stationär måste parametrarna ha vissa värden A Testet av modellen är då att samla relevanta data och uppskatta parametrarna Om uppskattningarna inte överensstämmer med stationaritet, måste man ompröva antingen den teoretiska modellen eller statistisk modell eller båda. Vi har nu tillräckligt med maskiner för att börja prata om Modellering av univariata tidsseriedata Det finns fyra steg i processen 1 byggnadsmodeller från teoretisk och eller experientiell kunskap 2 identifierande modeller baserade på den data observerade serien 3 som passar modellerna som uppskattar parametrarna i modellen s 4 kontrollerar modellen Om i Fjärde steget vi inte är nöjda vi återgår till steg ett Processen är iterativ tills ytterligare kontroll och respekifikation ger ingen ytterligare förbättring Resultaten Diagrammatically. Definition Några enkla operationer inkluderar följande Backshift-operatören Bx tx t-1 Framåtriktaren Fx txt 1 Skillnadsoperatören 1 - B xtxt - x t-1 Skillnadsoperatören beter sig på ett sätt som överensstämmer med konstanten i En oändlig serie Det vill säga dess invers är gränsen för en oändlig summa Namnlösa -1 -1 B 1 1 1-B 1 BB 2 Integreringsoperatören S -1 Eftersom det är invers av skillnadsoperatören, integrerar operatören Tjänar till att konstruera summan. MODEL BUILDING I det här avsnittet erbjuder vi en kort genomgång av de vanligaste typerna av tidsseriemodeller. På grundval av en s kännedom om datagenereringsprocessen väljer man en klass av modeller för identifiering och uppskattning från möjligheterna Vilka följer. Definition. Antag att Ex tm är oberoende av t. En modell som. Med egenskaperna kallas den autoregressiva modellen av order p, AR p. Definition Om en tidsberoende variabel stokastisk process t uppfyller då t Sägs att tillfredsställa Markov-fastigheten På LHS är förhoppningen betingad av den oändliga historien om xt På RHS är den betingad av endast en del av historiken. Från definitionerna ses en AR p-modell för att tillfredsställa Markov-fastigheten med hjälp av backshift Operatör vi kan skriva vår AR-modell as. Theorem Ett nödvändigt och tillräckligt villkor för AR p-modellen att vara stationär är att alla polynomernas rötter ligger utanför enhetens cirkel. Exempel 1 Tänk på AR 1 Den enda roten av 1 - f 1 B 0 är B 1 f 1 Villkoren för stationaritet kräver det. Om den observerade serien ser ut som en mycket frenetisk E g-övervägning, i vilken den vita brusperioden har en normal fördelning med nollvärde och en varians av en The Observationer byter tecken med nästan varje observation. Om den andra sidan kommer den observerade serien att bli mycket jämnare. I denna serie tenderar en observation att vara över 0 om dess föregångare var över noll. Variancen av et är se 2 för alla t Variansen av x T när det har nollvärdet, ges av Eftersom serien är stationär kan vi skriva Hence. The autocovariancefunktionen för en AR 1-serie är att förutse utan förlust av generality m 0.To se hur det ser ut när det gäller AR-parametrarna Vi kommer att utnyttja det faktum att vi kan skriva xt enligt följande. Multiplying av x tk och att ta förväntningar. Notera att autocovariances dör ut som k växer Autokorrelationsfunktionen är autokovariansen dividerad med variansen av den vita brusperioden Or, Using De tidigare Yule-Walker-formlerna för de partiella autokorrelationerna vi har. För en AR 1 döper autokorrelationer exponentiellt och de partiella autokorrelationerna uppvisar en spik vid en lag och är noll därefter. Exempel 2 Överväg AR 2 Det associerade polynomet i lagoperatören Är. Rötterna kan hittas med hjälp av den kvadratiska formeln Rötterna är. När rötterna är verkliga och följaktligen kommer serien att minska exponentiellt på grund av en chock När rötterna är komplexa och s Eries visas som en dämpad teckenvåg. Stationaritetssatsen ställer följande villkor på AR-koefficienterna. Autokovariansen för en AR 2-process, med nollvärde, är. Dividing genom variansen av xt ger autokorrelationsfunktionen Eftersom vi kan skriva På samma sätt för andra och tredje autokorrelationer. De andra autokorrelationerna löses för rekursivt. Mönstret styrs av rötterna i den andra ordens linjära skillnadsekvationen. Om rötterna är verkliga kommer autokorrelationerna att minska exponentiellt. När rötterna är komplexa kommer autokorrelationer att visas Som en dämpad sinusvåg Med hjälp av Yule-Walker-ekvationerna är de partiella autokorrelationerna. Again, de autokorrelationerna dömer långsamt. Den delvisa autokorrelationen å andra sidan är ganska distinkt. Den har spikar vid en och två lags och är noll därefter. Stycket Om xt Är en stationär AR p-process då kan den likvärdigt skrivas som en linjär filtermodell Det vill säga polynom i backshif T-operatorn kan inverteras och AR p skrivs som ett glidande medelvärde av oändlig ordning istället. Exempel. Antag att zt är en AR 1-process med nollvärde. Vad som är sant för den aktuella perioden måste också vara sant för tidigare perioder. Således genom rekursiv substitution kan vi Write. Square båda sidor och ta förväntningar. Höger sida försvinner som k sedan f 1 Därför sammanfattar summan till zt i kvadratisk medelvärde. Vi kan skriva om AR p-modellen som ett linjärt filter som vi vet är stationära. Autokorrelationsfunktionen och Delvis autokorrelation Allmänt Antag att en stationär serie zt med medel noll är känd för att vara autoregressiv. Autokorrelationsfunktionen för en AR p hittas genom att ta förväntningar om och dela genom variansen av z t. Detta berättar för oss att rk är en linjär kombination Av tidigare autokorrelationer Vi kan använda detta vid tillämpning av Cramer s regel till att jag löser för f kk. I synnerhet kan vi se att detta linjära beroende beror på f kk 0 för kp. Denna särskiljningsfunktion Av autoregressiva serier kommer att vara mycket användbara när det gäller identifiering av en okänd serie. Om du har antingen MathCAD eller MathCAD Explorer så kan du experimentera med interaktivitet med några av de AR p-idéer som presenteras här. Flytta genomsnittsmodeller Tänk på en dynamisk modell där Serie av intresse beror bara på en del av historien om den vita brusperioden. Diagrammatiskt kan det här representeras som. Definition Anta att det är en okorrelerad sekvens av iid slumpmässiga variabler med noll medelvärde och finitiv varians. Då ett glidande medelvärde för order q, MA Q, ges av. Theorem En rörlig genomsnittsprocess är alltid stationär Bevis I stället för att börja med ett generellt bevis kommer vi att göra det för ett visst fall. Antag att zt är MA 1 Då har naturligtvis vid noll medelvärde och ändlig varians. Medelvärdet av Zt är alltid noll Autocovariances kommer att ges av. Du kan se att medelvärdet av den slumpmässiga variabeln inte beror på tid på något sätt. Du kan också se att autokovariansen beror på S bara i offset s, inte på var i serien vi börjar Vi kan bevisa samma resultat mer allmänt med början, med den alternativa rörliga genomsnittsrepresentationen. Överväg först variansen av z t. Vid rekursiv substitution kan du visa att detta Är lika med. Summan vi vet är en konvergerande serie så varianiteten är ändlig och oberoende av tiden. Kovarianerna är till exempel. Du kan också se att de automatiska kovarianerna bara beror på de relativa punkterna i tid, inte den kronologiska Punkt i tid Vår slutsats från allt detta är att en MA-process är stationär För den allmänna MA q-processen ges autokorrelationsfunktionen av. Den partiella autokorrelationsfunktionen kommer att dö ut smidigt. Du kan se detta genom att invertera processen för att få en AR-process. Om du har antingen MathCAD eller MathCAD Explorer kan du experimentera interaktivt med några av de MA q-idéer som presenteras här. Blandade autoregressiva - rörliga genomsnittsmodeller. Definitionen antar att är en okorrelerad sökmotor Oberoende av iid slumpmässiga variabler med noll medelvärde och ändlig varians Därefter ges en autogegressiv, glidande genomsnittsprocess av order p, q, ARMA p, q. Rötterna hos den autoregressiva operatören måste alla ligga utanför enhetens cirkel. Antalet okända Är pq 2 P och q är uppenbara. 2 innehåller processens nivå, m och variansen av den vita brusperioden, sa 2. Anta att vi kombinerar våra AR - och MA-representationer så att modellen är. och koefficienterna är Normaliserad så att bo 1 Då kallas denna representation en ARMA p, q om rötterna på 1 alla ligger utanför enhetens cirkel. Antag att yten mäts som avvikelser från medelvärdet så att vi kan släppa ao då autokovariansfunktionen härrör från. Om jq då MA-termerna faller ut i förväntan att ge. Det är, autokovariansfunktionen ser ut som en typisk AR för lags efter q de dör ut smidigt efter q, men vi kan inte säga hur 1,2, q kommer att se. Vi kan Granska även PACF för denna klass av modell. Modell ca N skrivas som. Vi kan skriva detta som en MA inf process. which antyder att PACFs s dömer långsamt Med några aritmetiska kunde vi visa att detta händer först efter de första p-spikarna som bidragit av AR-delen. Empirisk lag I själva verket, En stationär tidsserie kan väl representeras av p 2 och q 2 Om ditt företag ska ge en god approximation till verkligheten och godhet med passform är ditt kriterium då en förlorad modell är att föredra Om din intresse är prediktiv effektivitet är den parsimoniska modellen föredragen . Experiment med de ARMA-idéer som presenteras ovan med ett MathCAD-arbetsblad. Utvecklingsbaserade integrera rörliga genomsnittsmodeller. MA-filter AR-filter Integrera filter. Ibland är processen eller serierna som vi försöker att modellera inte stationära i nivåer, men det kan vara stationärt i, Säg första skillnader Det är, i sin ursprungliga form, autocovariances för serien kanske inte är oberoende av den kronologiska tidpunkten. Om vi ​​bygger en ny serie som är den första Skillnader i den ursprungliga serien uppfyller denna nya serie definitionen av stationaritet. Detta är ofta fallet med ekonomiska data som är mycket trended. Definition Anta att zt inte är stationär, men zt - z t - 1 uppfyller definitionen av stationaritet. , Den vita brusbegreppet har ändamål och varians Vi kan skriva modellen som. Detta heter namnet ARIMA p, d, q modell p identifierar AR-operatörens ordning, d identifierar strömmen q identifierar ordern hos MA-operatören Om rötterna av f B ligger utanför enhetens cirkel kan vi skriva om ARIMA p, d, q som ett linjärt filter. Det kan skrivas som en MA Vi reserverar diskussionen om detektering av enhetsrotsar för en annan del av Föreläsningsnoteringar. Tänk på ett dynamiskt system med xt som en ingångsserie och yt som en utgångsserie Diagrammatiskt har vi. Dessa modeller är en diskret analogi av linjära differentialekvationer. Vi antar följande relation. where b anger en ren fördröjning. Återkalla att 1-B Gör denna del Stitution modellen kan skrivas. Om koefficientpolynomet på yt kan inverteras kan modellen skrivas som. VB är känd som impulsresponsfunktionen Vi kommer att stöta på denna terminologi igen i vår senare diskussion om vektorautoregressiv samverkan och felkorrigering Models. MODEL IDENTIFICATION Efter att ha bestämt sig för en klass av modeller måste man nu identifiera ordningen för de processer som genererar data. Det är man måste göra bästa gissningar om AR-och MA-processernas ordning i den stationära serien. En stationär serie är Fullständigt kännetecknas av dess medelvärden och autokrav. Av analytiska skäl arbetar vi vanligtvis med autokorrelationerna och partiella autokorrelationer. Dessa två grundläggande verktyg har unika mönster för stationära AR - och MA-processer. Man kan beräkna provuppskattningar av autokorrelations - och delautokorrelationsfunktionerna och jämföra dem med tabulerade resultat För standardmodeller. Prov autokovariansfunktion. Prov autokorrelation Roligt Ction. De prova partiella autokorrelationerna kommer att vara. Använda autokorrelationerna och partiella autokorrelationer är ganska enkla i princip Anta att vi har en serie zt med nollvärde, vilket är AR 1 Om vi ​​skulle köra regression av zt 2 på zt 1 och zt Vi skulle förvänta oss att finna att koefficienten på zt inte var annorlunda än noll eftersom denna partiella autokorrelation borde vara noll. Å andra sidan bör autokorrelationerna för denna serie minskas exponentiellt för att öka lags se AR 1-exemplet ovan. Antag att Serien är verkligen ett rörligt medelvärde. Autokorrelationen ska vara noll överallt men vid första fördröjningen. Den partiella autokorrelationen borde dö ut exponentiellt. Även från vår mycket snabba tumme genom grunderna i tidsserieanalysen är det uppenbart att det finns en dualitet mellan AR och MA Processer Denna dualitet kan sammanfattas i följande tabell. Starkt stationära lösningar av autoregressiva glidande medelekvationer. Nödvändig och tillräcklig Förutsättningar för förekomsten av en strikt stillastående lösning av ekvationerna som definierar ett autoregressivt glidande medelprocess som drivs av en oberoende och identiskt fördelad brussekvens bestäms. Inga ögonuppfattningar på drivrörsekvensen görs. Copyright 2010, Oxford University Press. Om du upplever problem Ladda ner en fil, kolla om du har rätt ansökan för att se den först Om det finns ytterligare problem läs IDEAS hjälp sida Observera att dessa filer inte finns på IDEAS-webbplatsen Var vänlig tål eftersom filerna kan vara stora. För att få tillgång till detta Dokumentet är begränsat, kanske du vill söka efter en annan version under Relaterad forskning längre nedan eller leta efter en annan version av den. Artiklar som tillhandahålls av Biometrika Trust i sin tidskrift Biometrika. Volym År 97 2010 Utgåva Månad 3 Sidor 765-772.When Begär en korrigering, var vänlig och nämna det här föremålet för hanteringen av RePEc oup biomet v 97 y 2010 i 3 p 765-772 Se allmän information om hur du rensar kompisen Rial i RePEc. For tekniska frågor angående detta objekt, eller för att rätta till dess författare, titel, abstrakt, bibliografisk eller nedladdningsinformation, kontakta Oxford University Press. or Christopher F Baum. Om du har skrivit det här föremålet och inte är registrerat på RePEc, Vi uppmuntrar dig att göra det här Det här låter dig länka din profil till det här objektet Det tillåter dig även att acceptera potentiella citat till det här objektet som vi är osäkra om. Om referenser saknas helt kan du lägga till dem med hjälp av detta formulär. Om det är fullt Referenser lista ett objekt som är närvarande i RePEc, men systemet har inte länkat till det. Du kan hjälpa till med det här formuläret. Om du vet om saknade objekt som citerar den här kan du hjälpa oss att skapa dessa länkar genom att lägga till relevanta referenser i På samma sätt som ovan, för varje referenspunkt Om du är en registrerad författare till det här objektet kan du också kolla citatfliken i din profil, eftersom det kan finnas några citat som väntar på bekräftelse. Observera att korrigeringar kan ta en kup Le av veckor för att filtrera genom de olika RePEc-tjänsterna. Mer tjänster. Följ serier, tidskrifter, författare mer. Nytt papper via email. Subscribe till nya tillägg till RePEc. Author registration. Public profiler för Economics researchers. Various rankings of research in Economics-relaterade Fält. Vem var en elev av dem, med hjälp av RePEc. RePEc Biblio. Curated artiklar papper om olika ekonomiska ämnen. Ladda upp ditt papper för att vara listat på RePEc och IDEAS. Blog aggregator för ekonomisk forskning. Saker av plagiat i Economics. Job Market Papers. RePEc arbetspapper serie dedikerad till arbetsmarknaden. Fantasy League. Pretend du är till roten för en ekonomisk avdelning. Tjänster från StL Fed. Data, forskning, appar mer från St Louis Fed.